Riuscirai a salvare il tuo equipaggio?

Benvenuti a L’Enigmista. Ogni settimana presento problemi relativi alle cose che ci stanno a cuore qui: matematica, logica e probabilità. Ogni settimana vengono offerti due puzzle: Riddler Express per quelli di voi che vogliono qualcosa di piccolo e Riddler Classic per quelli di voi che amano il lento movimento dei puzzle. Invia una risposta corretta a uno dei due e potresti ricevere un messaggio nella colonna successiva. Attendi fino a lunedì per condividere pubblicamente le tue risposte! Se hai bisogno di un suggerimento o hai un rompicapo preferito che raccoglie polvere in soffitta, Trovami su Twitter Oppure mandami una mail.

Espresso dell’Enigmista

Per Pasqua, tu e la tua famiglia decidete di decorare 10 bellissime uova. Tira fuori dal frigorifero un cartone di uova fresche e ne toglie 10. Sono rimaste due uova nel cartone e le rimetti in frigo.

Il giorno dopo, apre di nuovo il cartone e scopre che le posizioni delle uova sono in qualche modo cambiate, o almeno così pensa. Forse il coniglietto pasquale ha curiosato nel tuo frigorifero?

I 12 fori nel cartone sono disposti in una matrice sei per due che è simmetrica se ruotata di 180 gradi e le uova sono indistinguibili l’una dall’altra. In quanti modi distinti per mettere due uova in questo cartone? (Nota: posizionare due uova nelle due fessure più a sinistra dovrebbe essere considerato come posizionarle nelle due fessure più a destra, poiché è possibile passare da una disposizione all’altra ruotando il cartone di 180 gradi.)

Credito extra: Invece di due uova rimanenti, supponiamo di avere altri numeri indistinguibili di uova comprese tra zero e 12. Quanti modi distinti ci sono per mettere queste uova nel cartone?

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Classico dell’Enigmista

Da Nis Jørgensen arriva un mistero picaresco di un capitano e dell’equipaggio:

Sei il capitano di un equipaggio di tre persone (escluso te): Geordie, Sydney e Alandra. La tua nave è stata catturata da un nemico precedentemente sconosciuto, che decide di restituirti la nave se riesci a vincere una partita semplice.

A ciascuno dei tre membri dell’equipaggio verrà assegnato un numero compreso tra zero e uno, scelto a caso e standardizzato all’interno di tale intervallo. Come capitano, il tuo obiettivo è indovinare chi ha il numero più alto.

Il trucco è che puoi solo fare una domanda sì o no a ciascun membro dell’equipaggio. A seconda della risposta alla domanda che poni al primo membro dell’equipaggio, puoi aggiornare la domanda che poni al secondo. Allo stesso modo, in base alle risposte alle prime due domande, puoi aggiornare la terza domanda che poni. Ma alla fine, devi ancora indovinare quale membro dell’equipaggio ha di più.

Qual è la tua strategia ottimale e quali sono le tue possibilità di riavere la tua nave?

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Un’altra soluzione per Riddler Express

Congratulazioni a Sweet Tea Dorminy di Greenville, South Carolina, vincitore dell’Enigmista Express della scorsa settimana.

Express è stato introdotto la scorsa settimana dallo studente delle superiori Max Misterka, vincitore del 2023 Regeneron Science Talent Search. Max ed io stavamo giocando a un gioco in cui sceglievamo segretamente un numero. Chiamiamo il numero di Max M E il mio numero z.z. Dopo che entrambi abbiamo rivelato i nostri numeri, era il punteggio di Max M^z.zmentre il mio risultato z.z^M. Vince chi ottiene il punteggio più alto.

Quando abbiamo giocato di recente, Max e io abbiamo scelto numeri interi diversi. Sorprendentemente, abbiamo pareggiato: non c’era nessun vincitore! Che numeri abbiamo scelto?

Poiché io e Max abbiamo pareggiato, significa numeri interi M E z.z L’uguaglianza soddisfa M^z.z = z.z^M. prendendo M-esimo e z.z– Radici su entrambi i lati, che ti ha dato M^{1 /M} = z.z^{1 /z.z}. A questo punto, valeva la pena dare un’occhiata più da vicino al lavoro F(X) = X^{1 /X}. Dopotutto, dopo M^{1 /M} = z.z^{1 /z.z} Significa la stessa cosa di avere F(M) = F(z.z).

Questa funzione viene incrementata per piccoli valori di Xper raggiungere il valore massimo quando X Era circa 2.718 (es H). Dopo questo massimo, la funzione è diminuita per sempre, avvicinandosi asimmetricamente a 1. Poiché la funzione era crescente e poi decrescente, senza ulteriori cambi di direzione nel mezzo, significa o M O z.z deve essere inferiore a Hmentre l’altro numero avrebbe dovuto essere maggiore di H. Diciamo così M Il numero era il più piccolo.

A questo punto, non c’erano molte opzioni: M Deve essere 1 o 2. If M era 1, allora ti serve 1^z.z = z.z¹Che significa z.z Era anche uguale a 1. Da quando ha detto l’indovinello M E z.z erano distinti, questa non era una soluzione praticabile. Se M era invece 2, allora ti servono 2^z.z = z.z². Certamente questa equazione ha due soluzioni: z.z = 2 (che ancora una volta non ha prodotto numeri distinti) e z.z = 4. Quindi, gli unici due numeri interi che potevo scegliere erano Max e 2 e 4come 2⁴ = 4².

Per ottenere credito extra, dovevi analizzare un altro round del gioco in cui Max e io sceglievamo numeri positivi che non erano necessariamente numeri interi. Ho detto a Max il mio numero senza sapere il suo, a quel punto mi ha detto che la partita era di nuovo un pareggio. Ho risposto: “Ah, questo significa che dobbiamo aver scelto lo stesso numero!” Che numero abbiamo scelto?

Matematicamente, questo significa che F(M) = F(z.z) lo sottintendeva M e z erano uguali. per qualsiasi valore M tra 1 e HC’è stato un ritorno z.z più di H Tale che F(M) = F(z.z). così per F(M) = F(z.z) suggerire M = Z, Dato che erano almeno 1, entrambi M E z.z Doveva essere H. In alternativa, come notato dalla soluzione di Fernando Mendez, entrambi possono essere qualsiasi numero positivo minore o uguale a 1.

Di fronte a uno studente delle superiori che era il migliore della sua classe in matematica e scienze, tutto quello che posso dire è che sono contento di aver pareggiato (anziché perso) entrambe le volte che abbiamo giocato a questo gioco.

Una soluzione all’ultimo classico dell’Enigmista

Congratulazioni a Jason Weinrib di Phoenix, AZ, che ha vinto l’Enigmista Classic della scorsa settimana.

La settimana scorsa mi è stato presentato il Sudoku, un gioco simile a un gioco Battaglia stellare. Nella versione a cinque stelle del gioco, stai cercando di riempire una griglia 21×21 con stelle secondo determinate regole:

• Ogni riga deve contenere esattamente cinque stelle.
• Ogni colonna deve contenere esattamente cinque stelle.
• Ogni area selezionata in grassetto deve contenere esattamente cinque stelle.
• Non possono esserci due stelle adiacenti orizzontalmente, verticalmente o diagonalmente.

Ad esempio, ecco un gamepad risolto:

In questo esempio, le stelle sembravano essere distribuite uniformemente su tutto il tabellone, anche se c’erano degli spazi vuoti. In particolare, questo forum aveva 20 caselle 2×2 vuote, evidenziate di seguito:

Alcune di queste regioni si sovrapponevano binarie in due, tuttavia sono ancora considerate distinte.

In un tabellone risolto di Star Battle, qual è il numero minimo e massimo di caselle vuote 2×2?

A prima vista, questo sembrava un puzzle combinatorio piuttosto complesso, o forse qualcosa che avrebbe richiesto molta simulazione. Ma a quanto pare, puoi capirlo con un’algebra relativamente semplice!

Il risolutore N. Scott Cardell ha iniziato acquisendo un appezzamento di terreno. Ognuna delle 21 righe conteneva cinque stelle, il che significa che c’erano 105 stelle in totale. Nel frattempo, sono 20², o 400, per un totale di quadrati due per due nella griglia. Poiché le stelle non possono essere adiacenti, ciò significa che ogni quadrato 2×2 contiene al massimo una stella.

Ora una stella su uno dei quattro angoli è apparsa esattamente in uno di questi quadrati 2×2, mentre una stella su un bordo è apparsa su due di questi quadrati e una stella all’interno della griglia è apparsa su quattro di questi quadrati. Se ci sono C stelle d’angolo, H Stelle di bordo e IO Stelle interne, il numero di quadrati era 2 per 2 che contenevano una stella C +2H +4IO. Poiché ci sono 400 quadrati 2×2 in totale, il numero di quadrati senza La stella era 400 – (C +2H +4IO).

Poiché il numero totale di stelle era 105, cioè C + H + IO = 105 o IO = 105 – H – C. Inoltre, poiché ogni bordo (come qualsiasi altra riga o colonna) ha cinque stelle, con le stelle d’angolo che contano per due bordi, il H +2C = 20 o H = 20 – 2C.

A questo punto si possono eliminare algebricamente le variabili dall’espressione per il numero di quadrati vuoti 2 x 2, 400 – (C +2H +4IO). Consegna 105 – H – C A IO ti ha dato 3C +2H – 20. Infine, collega 20-2C A H ti ha dato 20 – C.

Dopo tutto quel lavoro, questo è stato un risultato sorprendentemente semplice. Per trovare il numero di quadrati vuoti 2×2, tutto ciò che devi fare è contare il numero di stelle che erano nei quattro angoli e sottrarlo da 20. Sicuramente, questo era coerente con il gioco risolto di Star Battle. Nel puzzle originale: non c’erano stelle nell’angolo e c’erano 20 quadrati 2×2 vuoti.

Quindi qual è la risposta? Il numero minimo di caselle vuote era di due a due 16, quando i quattro angoli contenevano stelle. era il massimo 20, quando i quattro angoli erano privi di stelle. (Secondo me, questo puzzle si è rivelato più semplice di quanto sembrasse all’inizio, a differenza dello stesso Star Battle, che è molto più difficile di quanto sembri).

Vuoi più puzzle?

Beh, non sei fortunato? C’è un intero libro pieno dei migliori enigmi di questa rubrica e alcuni frammenti mai visti prima. Si chiama “L’Enigmista” e lo è Ora nei negozi!

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Invia un’e-mail a Zach Wissner-Gross all’indirizzo [email protected].